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    微积分不等式的证明方法[高等数学]
    2021-03-04 / 0 评论 / 133 阅读 / 3 点赞

    微积分不等式的证明方法[高等数学]

    刘航宇
    2021-03-04 / 0 评论 / 133 阅读 / 正在检测是否收录...

    证明方法总结:

    (1)利用函数单调性证明不等式

    若在(a,b)上总有f(x)的导数大于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调增加;若在(a,b)上总有f(x)的导数小于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调减少。

    (2)利用拉格朗日中值定理证明不等式

    对于不等式中含有f(b)-f(a)的因子,可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。
    扩展:拉格朗日中值定理
    条件:(1)f(x)在[a,b]连续。(2)f(x)在(a,b)可导。
    结论:在a和b之间必有一个值ξ使得f’(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
    几何意义:在该条件下的函数,必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。
    拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。
    证明:使用曲线减去两端点连线得出一个函数,再对该函数应用罗尔中值定理。
    使用该定理的信号:要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

    (3)利用函数的最值证明不等式

    若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.

    (4)利用泰勒公式证明不等式

    如果要证明的不等式中,含有函数的二阶或二阶以上的导数,一般通过泰勒公式证明不等式。

    不等式证明的难点也是辅助函数的构造,一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。

    扩展: 泰勒公式

    泰勒公式中系数表达式:(f^((n) ) (x_0 ))/n! (x-x_0 )^n
    当x_0=0的时候,泰勒公式则称为麦克劳林公式。
    
    
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