微分4大中值定理

罗尔中值定理

条件：（1）f$x$在$$a,b$$连续。（2）f$x$在$a,b$可导。（3）f$a$=f$b$。
结论：在a和b之间必有一个值ξ使得f’$ξ$=0。
几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。
引申---费马引理

y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。
拉格朗日中值定理

条件：（1）f$x$在$$a,b$$连续。（2）f$x$在$a,b$可导。
结论：在a和b之间必有一个值ξ使得f’$ξ$=$f(b$-f$a$)/$b-a$。
几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。
证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。
使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

柯西中值定理

条件：（1）f$x$、g$x$在$$a,b$$连续。（2）f$x$、g$x$在$a,b$可导。且g’$x$≠0
结论：在a和b之间必有一个值ξ使得$f'(ξ$)/$g'(ξ$)=$f(b$-f$a$)/$g(b$-g$a$)。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。
证明：使用参数方程，将f$x$和g$x$作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。
使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。

泰勒中值定理

泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。
使用该定理的信号：高阶导数。
使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。