【线代】证明|A*|=|A|^(n-1)、|AB|=|A||B|、r(A)+r(B)>=r(A+B)

|A*|=|A|^(n-1)证明

①rA＜n-1:|A|＝0＝|A|.（A 的元素都是0）|A*|=|A|^(n-1)成立。
②rA=n-1:|A|＝0。AX＝0的基础解系只含一个解。（X是列向量）
而AA＝|A|E＝0.A的列向量都是AX＝0的解，必须成比例。∴|A*|＝0
|A*|=|A|^(n-1)成立。
③rA=n:|A|≠0. AA*＝| A | E.
| A || A|＝||A|E|＝|A|^n, 消去|A|≠0. 得到：|A|=|A|^(n-1)

|AB|=|A||B|证明

用分块矩阵的方法来证明：
| A 0|
|-E B|＝[按前n行展开]＝|A||B| ① （E为单位矩阵）
注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值,第二块行左乘A加到第一块行,
| A 0|
|-E B|＝
| 0 AB|
|-E B|＝[按前n行展开]＝（-1）^t|AB||-E|②
t＝1+2+……+n+（n+1）+（n+2）+……+（n+n）＝n（2n+1）
|-E|＝（-1）^n,注意n（2n+1）+n＝2（n²+n）是偶数.
∴（-1）^t|AB||-E|＝|AB|③
对照①②③,得到：|A||B|＝|AB|

r(A)+r(B)>=r(A+B)